Begay föddes i Tuba City, Arizona, den 11 januari 1954. Han växte upp på Navajoreservatet, där han lärde sig om traditionell Navajokultur från sina föräldrar och morföräldrar. Begay började teckna och måla i ung ålder, och han insåg snart att han hade en talang för konst.
Efter examen från gymnasiet studerade Begay konst vid Institute of American Indian Arts i Santa Fe, New Mexico. Han gick sedan på University of Arizona, där han tog en Bachelor of Fine Arts-examen.
Begays målningar skildrar en mängd olika ämnen, inklusive Navajo-ceremonier, ritualer och vardagsliv. Hans verk kännetecknas av dess livfulla färger, intrikata mönster och starka andlighetskänsla. Begays målningar har prisats för sin skönhet, sin kulturella betydelse och sin förmåga att fånga kärnan i Navajolivet.
Begays verk har visats på museer och gallerier runt om i världen, inklusive Smithsonian Institution, Heard Museum och Museum of Modern Art. Han har också mottagit många utmärkelser, inklusive National Endowment for the Arts Fellowship, Arizona Governor's Arts Award och Native American Art Awards.
Begays arbete fortsätter att inspirera och utbilda tittarna om navajokulturen. Han anses vara en av de viktigaste indiankonstnärerna i sin generation.
Begay dog i cancer den 17 augusti 2012 i Tuba City, Arizona. Han var 58 år gammal.